原创 黄莉玲——课本中由开普勒三大定律推导万有引力定律过程的一些拓展

原标题：黄莉玲——课本中由开普勒三大定律推导万有引力定律过程的一些拓展

【来源】 微信公众号《许兴华数学》。

（黄莉玲，福建省三明市永安市第一中学高一学生）

——此文非常基础，支持有高一知识的同学阅读

我在了解过物理课本上关于万有引力定律的证明之后，发现许多关键的步骤被简化了。这样的证明对于牛顿力学中集大成者万有引力定律来说，比较寡淡，体现不出其魅力。然而牛顿严谨又精妙的证明涉及运用极坐标来分析椭圆轨道这样的超纲知识，于是我萌生了自己写一篇文章的想法，尽我所能把简化后的过程介绍的详细一点，以便大家重温牛顿证明万有引力定律的过程，体会牛顿的非凡的智慧。由于我才疏学浅，语文也不好，难免会有计算、逻辑和语法上的错误，欢迎大家批评指正。

本文摘要:

一、背景知识（非常简单，学过的同学大可跳过）

1.1微积分的一些简单知识

1.2本文需要涉及的定律

1.3圆和椭圆的关系

1.4关于动量矩的一个结论

二、证明过程(本文的精华部分)

2.1证明单恒星系统中，行星所受外力指向恒星

2.2论证行星和恒星间的力与双方质量和距离之间的关系

三、结语

【正文】：

一、背景知识。以下是我的一些不一定严谨的理解。

1.1微积分的一些简单知识。微积分是数学研究函数的微分、积分，以及有关概念的工具。这是一门很大的学科。不过本文对于微积分的应用主要是在于它的内涵，不会涉及高深的公式。

1.1.1极限思想。我个人的感觉是，极限思想就是微积分的内涵，在很多物理问题中都有应用。不过牛顿于数学工具持实用态度，对于数学本身没有考虑太多，导致他的极限概念和理论不够严谨，后经过大数学家柯西等人的工作后才完善，为微积分打下坚实的数学基础。

1.1.2微元法。主要步骤其实是微分，就是将对象分到无穷小(补充:若想表示取x的非常小的一段，可记作dx)。两微做商，得到的就是微商(此微商非彼微商)，又叫导数。

这个方法使得我们略微领略一些微积分的内涵。有许多现在只能用微元法做的累死累活的题目据说以后可以用一个简单的微分方程一下搞定，想想都令人心驰神往。

1.1.3导数。简单说，一个函数的导函数就是描述这个函数的变化率的函数。求任意一个函数的导函数方法万变不离其宗，最开始的一步往往是一样的，具体过程见下图:

这里有一个经验之谈:对复杂函数求导最困难的往往是后面的化简步骤，有些函数甚至根本没法导。千万不能导了几个简单函数以后就以为你已经可以导遍天下无敌手了，碰到黎曼ζ函数这样的你会哭的。(有兴趣找来导导哦)

导数在很多领域上有广泛应用，例如位移的导数是速度，速度的导数是加速度，加速度还可以导出加加速度，加加速度仍然可以...只要你想导就可以导，直到导到零，不过后面的根据现有的物理知识来看就没有实际意义了。其实导数最早就是由于人们描述瞬时速度的需要而产生的。

1.2本文需要涉及的定律。(高中物理教材必修二P89-91有，直接上图。)

1.2.1开普勒三大定律，主要内容见下图：

【来源】 微信公众号《许兴华数学》。

1.2.1.2事实上，开普勒第二定律的表述可以简化为:ds/dt的值为一个常数 (s为行星和恒星的连线，也就是矢径r，扫过的面积，t为单位时间)

开普勒的定律其实是他通过大量处理老师第古的观测数据后归纳的，没有给出证明，但是能够很好地描述实际情况。其实在大多数情况下，物理学家们所做的，不是去掌握宇宙的真理，而是研究出一个理论，若它可以和实验结果符合的很好，他们就很满足了。

1.2.2万有引力定律，主要内容见下图：

说几句题外话，其实后来的爱因斯坦认为，行星公转的原因是:恒星巨大的质量导致周围空间扭曲，扭曲后的空间可以用黎曼几何来描述。黎曼几何就是球面上的几何，在这个几何世界里，直线可以无限延长，但是所有平行线最后都会相交。这里的直线定义是不太一样的，地球上的经线(纬线中只有赤道)在黎曼空间里就是直线。说白了，就像你走在地球上一样，用黎曼几何描述下的地球在太阳系一直在走直线。这就是相对论的基础。从实验观测到的数据来看，相对论比万有引力定律更能精确描述现象。

但是这并不代表牛顿的公式失去价值。万有引力定律的公式一大优点就是简洁，所以在精度要求不高的时候，人们还是可以使用万有引力定律进行计算。

1.3圆和椭圆的关系。在这里除了定义我竟不知如何描述，数学家不愧是数学家。

1.3.1圆是平面内到一个点(圆心)距离为常数的点的集合。

1.3.2椭圆，就是椭的圆......开玩笑，它是平面内到两个定点(椭圆的两个焦点)距离之和为常数的点的集合。

我们不难发现，当椭圆的两个焦点重合时，它就是一个圆了。实际上，圆就是特殊的椭圆。所以下文2.2的证明过程中用圆形轨道代表椭圆轨道是有一定依据的，牛顿研究一般情况，我们可以研究特殊情况，至少可以感受到一点当年牛顿的风采。

1.4关于动量矩的一个结论。其实这个动量矩类似于力矩。力矩等于力臂乘以力。参考力矩知识，因为动量就是mv,动量矩就是某个点到动量方向的垂直距离乘以动量，表达为mvh。当动量矩守恒时，则说明系统所受力矩为零(这是有严格证明的，这里不再展开，只要记住这点结论就可以)。

二、证明过程。本文的精华部分。

2.1本内容主要应用了开普勒第二定律推导行星所受引力的方向。

证明开始前需要提一下，牛顿是在已经用数学方法证明了开普勒第二定律，又证明了开普勒第二定律的逆命题后，才开始的接下来的证明。

一行星绕恒星运动示意图如下。(工具所限，图为手绘，加之本人技术不好，略有些简陋。请自行脑补一个由平滑曲线构成的美观大方的椭圆)

P1表示行星某一时间时的位置，P2表示过了dt时间后行星的位置，O1表示此星系恒星位置，θ为O1P1与O1P2之间的夹角。

dt趋近于零，P2趋近于P1，于是P1P2可看成一段线段，且r几乎等于r＋△r，这意味着在这个很小范围内椭圆可以当做圆来处理。又由于dθ趋近于零，所以等腰三角形O1P1P2的两腰都几乎垂直于底边，长度近似于三角形的高。

∵ds/dt的值为一个常数。【1.2.1.2】

于是有一下证明:

由此可知动量矩守恒，所以行星所受力矩为零。【1.4】

由F=ma,可知行星所受外力不为零。

又因为此星系只有一个恒星。

所以力臂，也就是恒星位置到行星所受外力方向的垂直距离，为零。于是我们可以得到，恒星就在行星所受外力方向的直线上。

由此我们得到，行星所受外力始终指向恒星，即为椭圆轨道的焦点之一。

2.2本过程将论证行星与恒星之间的引力与质量和距离之间的关系

接下来的证明我们不得不将行星轨道近似为圆形。

有一行星绕恒星运动示意图如下：

P1表示行星某一时间时的位置，P2表示过了dt时间后行星的位置，O表示此星系恒星位置，v1、v2是行星在P1、P2处的速度。

（许兴华数学）

（许兴华数学）

由此可得：星体之间的引力与双方质量成正比，与距离的平方成反比。

证明完毕。

三、结语

我们有生之年，或许等不到素数的分布规律被发现，等不到大统一理论诞生，甚至等到了也看不懂......若把真理比作大山，我们大多数人注定只能在山脚下转悠。以前这个事实会很打击我，后来慢慢体会到，进一寸有一寸的欢喜。就算只是见识一下山脚下的风景，体会一把爬山的乐趣，就很够了。希望我的这篇文章可以让你也能略知到这边风景，感受到乐趣。

谨以此文，向仅凭一己之力奠定数学、力学、光学、天文学基础的旷世巨人艾萨克·牛顿致敬！

【参考文献】

艾萨克·牛顿《自然哲学之数学原理》江苏人民出版社ISBN 978-7-214-06747-0

张景中《不用极限的微积分》湖北科学技术出版社ISBN 978-7-5352-9545-3

陈海涛《时空之舞:中学生能懂的相对论》北京大学出版社ISBN978-7-301-28589-3

中学物理教材编写组《普通高中课程标准实验教科书物理 必修二》山东科学技术出版社ISBN 978-7-5331-3730-4。

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